Wahlteil 2016 � Aufgabe B 2.1
Die Punkte A(0|-6|0), B(6|0|0), C(0|6|0) und S(0|0|5) sind die Eckpunkte der Pyramide ABCS.
Der Punkt M1 ist der Mittelpunkt der Kante AS und M2 ist der Mittelpunkt der Kante CS.
Die Ebene E verläuft durch M1, M2 und B.
a) Die Ebene E schneidet die Pyramide in einer Schnittfläche.
Stellen Sie Pyramide und Schnittfläche in einer Koordinatensystem dar.
Berechnen Sie den Umfang der Schnittfläche.
Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von E.
(Teilergebnis: E: 5x1+12x3=30)
(4 VP)
b) Der Punkt Q liegt auf der Kante BS und bildet mit M1 und M2 ein rechtwinkliges Dreieck.Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes Q.
(3 VP)
c) Der Punkt Z liegt in der x1x3-Ebene und im Inneren der Pyramide ABCS.Er hat von der Grundfläche ABC, der Seitenfläche ACS und von E den gleichen Abstand.
Bestimmen Sie die Koordinaten von Z.
(3 VP)
Lösung a)
Schaubild für die Pyramide mit der Schnittfläche
Der Mittelpunkt M1 der Kante AS ist M1(0|-3|2,5).
Der Mittelpunkt M2 der Kante CS ist M2(0|3|2,5).
Die Länge der Strecke M1M2 ist damit
.
Die Längen der Strecken BM1 und BM2 sind aus Symmetriegründen gleich.
Es gilt 
Folglich ist auch 
.
Der Umfang der Schnittfläche ist damit
Koordinatengleichung der Ebene E
Aus den Richtungsvektoren
und 
erhält man mit Hilfe des Vektorprodukts einen Normalenvektor für die Ebene E.
.
Die Koordinatengleichung von E lautet somit E: 5x1+12x3=d mit einem noch unbekannten d.
Da der Punkt B(6|0|0) in E liegt, setzen wir B in E ein und erhalten 5·6+12·0=30=d.
Damit haben wir die Koordinatengleichung komplett.Ergebnis: Die Koordinatengleichung für E lautet E: 5x1+12x3=30.
Lösung b)
Bestimmung des Punktes Q
Eine Gerade durch die Punkte B und S kann beschrieben werden durch
.Ein Punkt Q auf g hat somit die Koordinaten Q(6-6t|0|5t).
Das Dreieck M1QM2 ist in Q rechtwinklig, d.h. dass die Vektoren
und
senkrecht zueinander stehen und somit
gilt.Daraus gewinnen wir eine Bestimmungsgleichung für t und erhalten damit Q.
Mit
und 
folgt
Dazu geben Sie bei Y1 den Term 61X2-97X+33,25 ein und lassen sich den Graphen im
x-Auschnitt [0;2] und im y-Ausschnitt [-5;5] zeichnen. Mit 2ND CALC zero bestimmen Sie die beiden Nullstellen und
erhalten x1=0,5 bzw. x2≈1,09.
Da Q nur für 0≤t≤1 auf der Kante BS liegt, kann t=1,09 keine Lösung sein.
Wir setzen t=0,5 in g ein und erhalten
.Ergebnis: Der Punkt Q hat die Koordinaten Q(3|0|2,5).
Lösung c)
Bestimmung des Punktes Z
Der Punkt Z soll in der x1x3-Ebene liegen, d.h. die x2-Koordinate von Z ist 0.
Wir können somit Z(a|0|c) mit noch unbekannten a und b ansetzen.
Das Dreieck ABC liegt in der x1x2-Ebene, somit ist der Abstand von Z zum Dreieck ABC nichts anderes als die x3-Koordinate von Z, nämlich c.
Das Dreieck ACS liegt in der x2x3-Ebene, somit ist der Abstand von Z zum Dreieck ACS die x1-Koordinate von Z, nämlich a.
Diese beiden Abstände sollen gleich sein, also ist a=c. Der Punkt Z hat daher die Koordinaten Z(a|0|a).
Wir bestimmen nun den Abstand des Punktes Z von der Ebene E. Dazu wird die Ebenengleichung in die Hesse�sche Normalenform überführt. Mit
folgt
und weiter
,Ein beliebiger Punkt P(x1|x2|x3) hat damit zur Ebene E den Abstand
.Laut Aufgabenstellung soll der Abstand von Z zu E derselbe sein wie zum Dreieck ACS und wie zum Dreieck ABC � also a. Folglich gilt
Fall 1, 17a-30≥0:
Hier können wir die Betragsstriche weglassen und erhalten 17a-30=13a ⇔ 4a=30 ⇔ a=7,5. Für diesen Wert von a liegt der Punkt Z aber außerhalb der Pyramide. Diese "vermeintliche" Lösung müssen wir daher streichen.
Fall 2, 17a-30<0:
In diesem Fall können wir die Betragsstriche erst weglassen, wenn wir den Ausdruck zwischen den Betragsstrichen mit -1 malnehmen.
-17a+30=13a ⇔ 30a=30 ⇔ a=1
Dies ist der einzig mögliche Wert für a, für den der Punkt Z innerhalb der Pyramide liegt.Ergebnis: Der Punkt Z hat die Koordinaten Z(1|0|1).
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